Duda funcionamiento wallets

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Buenas

Tengo una duda de novato.

Con los monederos que se instalan en el ordenador como Exodus, Jaxx, Electrum…
¿Hace falta que el ordenador esté encendido (conectado a Internet en ese momento) para poder recibir una transacción?

¿O la transacción se queda en la nube (los nodos o donde sea) y cuando te conectas te llega?

Lo digo sobre todo por los casos en los que nos apuntamos a un airdrop, das tu dirección pero no sabes cuando te van a enviar el dinero. ¿Es necesario hacerlo en con un wallet online tipo myetherwallet o puedo hacerlo con los Exodus y compañía?

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De lo que ahí explican, que ya había leído en algún sitio tengo alguna duda…
¿Si el tamaño de la transacción no es su importe qué es entonces?
¿Qué pasa cuando la transferencia la haces desde un exchange, por ejemplo bitstamp, que dice que no cobra nada? ¿Pagan ellos una de su bolsillo o la hacen de otro modo o simplemente le dan prioridad mínima? ¿Cómo puedo añadir más fees en esos casos?